קיץ 2025 מועד ב (שאלון 472) – שאלה 1סדרות 571 · שיעור 28
קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 1
שיעור 28: קיץ 2025 מועד ב (שאלון 472) – שאלה 1
פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות (תרגול ברמת 4 יחידות)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הפיקדון בחודש הראשון
3סעיף ב – אחרי כמה חודשים הסכום 22,680
4סעיף ג – התשלום הראשון על המקרר
📄 נוסח השאלה
מיכל הפקידה בכל חודש כסף לחיסכון. גובה הפיקדון שהיא העבירה בכל חודש גדול במספר קבוע מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש שלפניו. סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל בחודש הראשון והשני הוא 2,100 שקלים סך הכול. גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש החמישי גדול פי 3 מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש הראשון.
א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,680 שקלים סך הכול.
בחודש ה־12, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 3 מן התשלום שלפניו.
ג. מצאו את התשלום הראשון.
סעיף א – הפיקדון בחודש הראשון
הפיקדון גדל כל חודש במספר קבוע ⟸ סדרה חשבונית. נסמן את הפיקדון הראשון a1 ואת ההפרש d.
a2 = a1 + d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
הפיקדון בחודש הראשון והשני ביחד 2,100:
a1 + (a1 + d) = 2,100 ⟹ 2a1 + d = 2,100 (משוואה 1)
a5 = a1 + 4d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
הפיקדון בחודש החמישי פי 3 מהראשון:
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף א – הפיקדון בחודש הראשון · המשך
הפיקדון בחודש החמישי פי 3 מהראשון:
a1 + 4d = 3a1 ⟹ 4d = 2a1 ⟹ a1 = 2d (משוואה 2)
מציבים את משוואה 2 במשוואה 1:
2 · 2d + d = 2,100 5d = 2,100 d = 2,1005 = 420
a1 = 2 · 420 = 840
בדיקה: a2 = 840 + 420 = 1,260 840 + 1,260 = 2,100 ✓ ; a5 = 840 + 4 · 420 = 2,520 = 3 · 840 ✓
סעיף א – הפיקדון בחודש הראשון · המשך
בדיקה: a2 = 840 + 420 = 1,260 840 + 1,260 = 2,100 ✓ ; a5 = 840 + 4 · 420 = 2,520 = 3 · 840 ✓
✅ פתרון סופי: 840 שקלים
סעיף ב – אחרי כמה חודשים הסכום 22,680
22,680 = n2 · [2 · 840 + (n − 1) · 420]
📐 סכום סדרה חשבונית
2 · 840 = 1,680 (n − 1) · 420 = 420n − 420
22,680 = n2 · [1,680 + 420n − 420]
22,680 = n2 · [420n + 1,260]
כופלים ב־2:
45,360 = n · (420n + 1,260)
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
סעיף ב – אחרי כמה חודשים הסכום 22,680 · המשך
45,360 = n · (420n + 1,260)
420n2 + 1,260n − 45,360 = 0
מחלקים את כל המשוואה ב־420:
1,260 : 420 = 3 45,360 : 420 = 108
n2 + 3n − 108 = 0
a = 1 , b = 3 , c = −108
סעיף ב – אחרי כמה חודשים הסכום 22,680 · המשך
a = 1 , b = 3 , c = −108
b2 − 4ac = 9 + 432 = 441 √441 = 21
n1,2 = −3 ± 212
📐 נוסחת השורשים
n1 = 182 = 9 n2 = −242 = −12 – נפסל (מספר חודשים חיובי).
בדיקה: S9 = 92 · [1,680 + 8 · 420] = 4.5 · 5,040 = 22,680 ✓
📐 סכום סדרה חשבונית
✅ פתרון סופי: לאחר 9 חודשים
📐 נוסחת השורשים
n1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
סעיף ג – התשלום הראשון על המקרר
מחיר המקרר = הפיקדון שהיה אמור להיות בחודש ה־12:
a12 = 840 + 11 · 420 = 840 + 4,620 = 5,460
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
ארבעה תשלומים, כל אחד פי 3 מהקודם ⟸ סדרה הנדסית עם q = 3 , n = 4, וסכומה 5,460. נסמן את התשלום הראשון b1:
5,460 = b1(34 − 1)3 − 1
📐 סכום סדרה הנדסית
34 = 81 81 − 1 = 80 3 − 1 = 2
5,460 = 80b12 = 40b1
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
📐 סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1
סעיף ג – התשלום הראשון על המקרר · המשך
5,460 = 80b12 = 40b1
b1 = 5,46040 = 136.5
בדיקה: 136.5 + 409.5 + 1,228.5 + 3,685.5 = 5,460 ✓
✅ פתרון סופי: 136.5 שקלים
📌 סיכום התשובות
סעיף א
840 שקלים
סעיף ב
9 חודשים
סעיף ג
136.5 שקלים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא